Mệnh đề nào sau đây đúng với \(\forall n \in {N^*}...

Câu hỏi: Mệnh đề nào sau đây đúng với \(\forall n \in {N^*}\)

A \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}}\)

B \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\)

C \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 2}}{{{2^n}}}\)

D \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} + 2}}{{{2^n}}}\)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\)được xác định bởi công thức : \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\).

Giải chi tiết:

Ta thấy \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...\) lập thành cấp số nhân với \({u_1} = \frac{1}{2};q = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = {S_n} = \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\)

Chọn B.

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Kiểm tra chương Cấp số cộng - Cấp số nhân (có lời giải chi tiết)

↑