Xác định m để phương trình \({x^4} - 2\left( {m +...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = {x^2},t \ge 0\).

Biện luận nghiệm để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

Biện luận để bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng bằng cách sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,\,b,\,c\) là một cấp số cộng \( \Rightarrow b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b\). Từ đó suy ra m.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^2},t \ge 0\).

Phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m + 1 = 0\;\;\;\left( 2 \right)\)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  (2) có hai nghiệm dương phân biệt \({t_2} > {t_1} > 0\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{P > 0}\\{S > 0}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - \left( {2m + 1} \right) > 0}\\{2m + 1 > 0}\\{2\left( {m + 1} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}{m^2} > 0\\m >  - \frac{1}{2}\\m >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow } \right. - \frac{1}{2} < m \ne 0\)

Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm là: \({x_4} =  - \sqrt {{t_2}} ;\;{x_3} =  - \sqrt {{t_1}} ;\;\;{x_2} = \sqrt {{t_1}} ;\;\;{x_2} = \sqrt {{t_2}} \)

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi : 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {{t_2}}  + \sqrt {{t_1}}  =  - 2\sqrt {{t_1}} }\\{ - \sqrt {{t_1}}  + \sqrt {{t_2}}  = 2\sqrt {{t_1}} }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}}  = 3\sqrt {{t_1}}  \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\)

Áp dụng  định lý Vi-et ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 2\left( {m + 1} \right)}\\{{t_1}{t_2} = 2m + 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + 9{t_1} = 2\left( {m + 1} \right)}\\{{t_1}9{t_1} = 2m + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_1} = m + 1\\9t_1^2 = 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{{m + 1}}{5}\\9.\frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{25}} = 2m + 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow 9{m^2} + 18m + 9 = 50m + 25 \Leftrightarrow 9{m^2} - 32m - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4\;\;\left( {tm} \right)}\\{m =  - \frac{4}{9}\;\;\;\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\) .

Vậy \(m = 4\) hoặc \(m =  - \frac{4}{9}\) là những giá trị cần tìm.

Chọn B.