Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{ar...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0$ .

Hàm số $y = f\left( x \right)$  liên tục tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$  

Giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định và  liên tục trên $\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0; + \infty } \right)$ .

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0:$

Ta có: $f\left( 0 \right) = {a^2} - 3a.$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {a{x^2} + 2x + {a^2} - 3a} \right) = {a^2} - 3a\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 - 2x}  - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left( {\sqrt {1 - 2x}  - 1} \right)\left( {\sqrt {1 - 2x}  + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 - 2x}  + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - 2x}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2}}{{\sqrt {1 - 2x}  + 1}} =  - 1.\end{array}$

$\Rightarrow$  hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow {a^2} - 3a =  - 1 \Leftrightarrow {a^2} - 3a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}.$

$\Rightarrow S = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = 3.$

Chọn A.