Cho \(n \in \mathbb{N},n \ge 2\). Chứng minh rằng...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng : \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}\) và BĐT Cô si

Giải chi tiết:

Ta có: \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n} \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} = {2^n} - 2\)

Áp dụng BĐT Cô si cho \(n - 1\) số dương \(C_n^1,C_n^2,...,C_n^{n - 1}\) ta có:

\(C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} \ge \left( {n - 1} \right)\sqrt[{n - 1}]{{C_n^1C_n^2...C_n^{n - 1}}},\,\forall \,n \in \mathbb{N},n \ge 2\)

\( \Rightarrow {2^n} - 2 \ge \left( {n - 1} \right)\sqrt[{n - 1}]{{C_n^1C_n^2...C_n^{n - 1}}} \Leftrightarrow C_n^1C_n^2...C_n^{n - 1} \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^{n - 1}C_n^n \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}\) (do \(C_n^0 = C_n^n = 1\))

Vậy, \(C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^n \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}},\,\forall n \in \mathbb{N},n \ge 2\).