Số giá trị nguyên của m để phương trình \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về phương trình bậc hai.

- Điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu là phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn \(0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}\)

Giải chi tiết:

Xét phương trình \((m+1){{.16}^{x}}-2(2m-3){{.4}^{x}}+6m+5=0\) (1)

Đặt \({{4}^{x}}=t,\,\,t>0\) . Phương trình (1) trở thành \((m+1).{{t}^{2}}-2(2m-3).t+6m+5=0\) (2)

Nhận xét: (1) có hai nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow \)(2) có hai nghiệm \({{t}_{1}},\,{{t}_{2}}\) với \(0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\\({t_1} - 1)({t_2} - 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\\{t_1}{t_2} - ({t_1} + {t_2}) + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\{(2m - 3)^2} - (m + 1)(6m + 5) > 0\\\frac{{2\left( {2m - 3} \right)}}{{m + 1}} > 0\\\frac{{6m + 5}}{{m + 1}} > 0\\\frac{{6m + 5}}{{m + 1}} - \frac{{2\left( {2m - 3} \right)}}{{m + 1}} + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\ - 2{m^2} - 23m + 4 > 0\\\frac{{2m - 3}}{{m + 1}} > 0\\\frac{{6m + 5}}{{m + 1}} > 0\\\frac{{3m + 12}}{{m + 1}} < 0\end{array} \right.\)  

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\\frac{{ - 23 - \sqrt {561} }}{4} < m < \frac{{ - 23 + \sqrt {561} }}{4}\\\left[ \begin{array}{l}m > \frac{3}{2}\\m <  - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m >  - \frac{5}{6}\\m <  - 1\end{array} \right.\\ - 4 < m <  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 4 < m <  - 1\)

Mà \(m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2 \right\}\).

Chọn: A.