Cho đường tròn tâm O, bán kính R...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Chứng minh \(AK = BK\) dựa vào chứng minh hai tam giác bằng nhau để suy ra \(AB = 2AK\). Chứng minh H, A, B cùng nhìn OM dưới một góc bằng nhau từ đó suy ra M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh \(\Delta OIK \sim \Delta OMH\) từ đó sử dụng định lý Ta-lét và hệ thức lượng trong tam giác vuông để suy ra đpcm.

3. Gọi F là trung điểm của AN. Chứng minh \(\frac{{OE}}{{OM}} = \frac{{OF}}{{OA}}\) dựa vào Ta-lét từ đó tính \(\frac{{OF}}{{OA}}\) để suy ra \(\frac{{OE}}{{OM}}\).

Giải chi tiết:

1. Chứng minh \(AB = 2AK\) và 5 điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn.

Có MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle AMK = \angle BMK\) và \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét \(\Delta AMK\) và \(\Delta BMK\) có: MK chung ; \(\angle AMK = \angle BMK\); \(MA = MB\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AMK = \Delta BMK\;\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow AK = BK\)  (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow AB = AK + BK = AK + AK = 2AK\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)

Ta có: \(\angle OHM = \angle OAM = \angle OBM = {90^o}\) (\(OH \bot \left( \Delta  \right)\) và MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \) H, A, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

\( \Rightarrow \) M, A, O, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính OM  (đpcm).

2. Chứng minh \(OI.OH = OK.OM = {R^2}\).

Có \(\Delta AMK = \Delta BMK\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle AKM = \angle BKM\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\angle AKM + \angle BKM = {180^o}\)

\( \Rightarrow \angle AKM = \angle BKM = {90^o} \Rightarrow AB \bot MN \Rightarrow \angle OKI = {90^o}\)

Xét \(\Delta OIK\) và \(\Delta OMH\) có: \(\angle O\) chung ; \(\angle OKI = \angle OHM = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta OIK \sim \Delta OMH\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow OI.OH = OK.OM.\)

Xét \(\Delta BOM\) vuông tại B đường cao BK ta có:

\(OK.OM = O{B^2} = {R^2}\)  

\( \Rightarrow OI.OH = OK.OM = {R^2}\) (đpcm)

3. Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho \(AN = 2ON\). Đường trung trực của BN cắt OM ở E. Tính tỉ số \(\frac{{OE}}{{OM}}\).

Ta có hai tiếp tuyến \(MA,\;\;MB\) cắt nhau tại \(M \Rightarrow MA = MB\,\,\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có \(\,\,OA = OB = R\;\;\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \) OM là đường trung trực của  .\(AB \Rightarrow EA = EB\;\;\left( {E \in OM} \right)\). 

Mặt khác \(EB = EN\) (E thuộc đường trung trực của BN) \( \Rightarrow EA = EN\) (tính chất đường trung trực)

\( \Rightarrow \Delta AEN\) cân tại E  (định nghĩa)

Gọi F là trung điểm của AN thì EF là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta AEN\) cân tại E

\( \Rightarrow EF \bot OA\) mà \(OA \bot MA\) (tính chất tiếp tuyến)

\( \Rightarrow EF//MA\) (từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta OAM\) có \(EF//MA\) nên theo định lý Ta-lét ta có: \(\frac{{OE}}{{OM}} = \frac{{OF}}{{OA}}\)

Vì \(AN = 2ON\) và F là trung điểm của AN nên \(AF = FN = ON \Rightarrow \frac{{OF}}{{OA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{OE}}{{OM}} = \frac{2}{3}\)