a) Cho biểu thức: $M=\frac{2}{\sqrt{x}-2}$ với \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Giải phương trình $M=2$ để tìm ẩn $x$ và đối chiếu với điều kiện của $x$ để kết luận.

b) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó rút gọn biểu thức.

c) Lấy kết quả biểu thức $P$ đã rút gọn ở câu trên và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng cách đánh giá.

Giải chi tiết:

a) Cho biểu thức: $M=\frac{2}{\sqrt{x}-2}$ với $x\ge 0,\ x\ne 4.$ Tìm $x$ để $M=2.$

Ta có: $M=2\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x}-2}=2\Leftrightarrow \sqrt{x}-2=1\Leftrightarrow \sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\ \ \left( tm \right).$

Vậy $x=9$ thì $M=2$

b) Rút gọn biểu thức: $P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left( \frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2} \right)$ với $x\ge 0,\ x\ne 4.$

$\begin{align}  & P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left( \frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2} \right)\ \ \ \ \ \left( x\ge 0,\ \ x\ne 4 \right) \\ & \ \ =\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left( \frac{\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}+\frac{1}{\sqrt{x}-2} \right) \\ & \ \ =\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \\ & \ \ =\frac{2}{\sqrt{x}-2}.\frac{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{2\left( \sqrt{x}+1 \right)} \\ & \ \ =\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}. \\\end{align}$

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P.$

Điều kiện: $x\ge 0,\ x\ne 4.$

Ta có:  $P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1+1}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}.$

Với $\forall \ x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+1\ge 1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+1}\le 1\Rightarrow 1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\le 2.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\ \ \left( tm \right).$

Vậy $Max\ P=2\ \ khi\ \ x=0.$

Chọn C