Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \f...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Quy đồng, thực hiện phép tính theo quy tắc, rút gọn.

b) Biến đổi biểu thức P về dạng 1 bình phương cộng 1 số.

c) Thực hiện phép chia đa thức P cho \({x^2} + 1\). Để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\) thì phép chia đó phải có số dư bằng 0.

Giải chi tiết:

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}}\)

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\8 - {x^3} \ne 0\\x + 2 \ne 0\\{x^2} - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne  \pm 2\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}} = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 8}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left( {{x^2} - 4} \right)\\\;\;\; = \frac{{x + 2 + {x^2}}}{{{x^2} - 4}}.\left( {{x^2} - 4} \right) = {x^2} + x + 2.\end{array}\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

\(P = {x^2} + x + 2 = \left( {{x^2} + x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{7}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4}\) với mọi \(x \ne  \pm 2\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\)

Vậy \({\min _P} = \frac{7}{4}\) đạt được khi \(x =  - \frac{1}{2}\)

c) Tìm các số nguyên x để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\).

Để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\) thì phép chia trên phải có số dư là 0 \( \Rightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy \(x =  - 1.\)

Chọn A.