Cho tam giác nhọn ABC AB < AC nội tiếp (O; R) c...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh B, C, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính BC và chú ý rằng ABD là tam giác vuông cân, từ đó sử dụng Py-ta-go.

b) Vẽ đường kính AS,  Chứng minh rằng H, T, S thẳng hàng với T là trung điểm BC.

c) Chứng minh EO là trung trực của AC, từ đó suy ra O là trực tâm.

Giải chi tiết:

Cho tam giác nhọn ABC AB < AC nội tiếp (O; R) có \(\angle BAC = {45^0},\) đường cao BD.

1) Chứng minh rằng tứ giác BCDO nội tiếp và \(A{B^2} + 2C{D^2} = 4{R^2}.\)

Do \(\angle BAC = {45^0} \Rightarrow \angle BOC = {90^0}\)(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung).

Do vậy: \(\angle BOC = \angle BDC = {90^0}\) nên O và D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông.

Vậy B, C, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Hay tứ giác BCDO là tứ giác nội tiếp (đpcm).

Do \(\angle BAC = {45^0}\) nên tam giác BDA vuông cân, do đó BD = DA.

Áp dụng định lý Py-ta-go với tam giác \(ABD\) vuông tại \({\rm{D}}\) ta có:

\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = 2B{D^2}.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go với \(\Delta BDC\) vuông tại \(D\) ta có:

\(B{C^2} = C{D^2} + B{D^2}.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go với \(\Delta BOC\) vuông tại \(O\) ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = O{B^2} + O{C^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}.\\ \Rightarrow A{B^2} + 2C{D^2} = 2B{D^2} + 2C{D^2} = 2\left( {B{D^2} + C{D^2}} \right) = 2B{C^2} = 2.2{R^2} = 4{R^2}\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

2) Giả sử đường cao CE của tam giác cắt BD tại H, I đối xứng với O qua BC. Tính IH theo R.

Giả sử: \(OI\)  cắt \(BC\)  tại \(K \Rightarrow K\)  là trung điểm của \(BC.\)

Vẽ đường kính \(AS,\) ta có:  \(CS \bot AC\) (\(\angle ACS\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Lại có \(BH \bot AC \Rightarrow CS//BH\;\;\left( { \bot AC} \right).\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : \(CH//BS\;\;\left( { \bot AB} \right)\)

\( \Rightarrow BHCS\) là hình bình hành (dhnb).

Mà \(K\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow K\) cũng là trung điểm của \(HS.\)

Xét \(\Delta AHS\) ta có: \(O\) là trung điểm của \(AS\;\;\left( {gt} \right)\) 

                             \(K\) là trung điểm của \(HS\;\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow OK\) là đường trung bình của \(\Delta AHS.\)

\( \Rightarrow OK = \frac{1}{2}AH \Rightarrow AH = 2OK = OI.\)

Xét tứ giác \(HAOI\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OI = AH\;\;\left( {cmt} \right)\\OI//AH\;\;\;\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HAOI\)  là hình bình hành (dhnb).

\( \Rightarrow IH = AO = R\) (cặp cạnh đối bằng nhau).

3) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ADE.

Xét AEC : \(\Delta AEC:\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}\angle EAC = {45^0}\\\angle AEC = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AEC\)  vuông cân tại \(E \Rightarrow EA = EC.\)  

Lại có: \(OA = OC \Rightarrow EO\) là đường trung trực của \(AC.\)

\( \Rightarrow EO \bot AC.\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : \(DO \bot EA.\)

\( \Rightarrow \Delta ADE\) có hai đường cao cắt nhau tại \(O \Rightarrow O\) là trực tâm của \(\Delta ADE.\;\;\left( {dpcm} \right)\)