Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Hai đ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng AB, AC sao cho \(\frac{{AM}}{{MB}} + \frac{{AN}}{{NC}} = 1\). Đặt \(AM = x;\,\,AN = y\).

Chứng minh \(MN = a - x - y\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{AM}}{{MB}} + \frac{{AN}}{{NC}} = 1 \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB - AM}} + \frac{{AN}}{{AC - AN}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{{a - x}} + \frac{y}{{a - y}} = 1\\ \Leftrightarrow ax - xy + ay - xy = {a^2} - ax - ay + xy\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ax - 2ay + 3xy = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + 2xy = {x^2} + {y^2} - xy\\ \Leftrightarrow {\left( {a - x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - xy\end{array}\)

Giả sử \(x > y\) , kẻ MM’ // BC, NN’ // BC \(M' \in AC;\,\,N' \in AB\).

Áp dụng định lí Ta-let ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AM'}}{{AC}};\,\,AB = AC \Rightarrow AM = AM'\)

\(\angle BAC = {60^0} \Rightarrow \angle MAM' = {60^0} \Rightarrow \Delta AMM'\) đều \( \Rightarrow MM' = AM = x\).

Chứng minh tương tự ta có : \(NN' = y\)

MM’ // NN’ ; \(\angle AMM' = \angle AM'M = {60^0} \Rightarrow \) tứ giác MM’NN’ là hình thang cân.

Ta có \(MN' = M'N = x - y\).

Kẻ \(NH \bot MM'\) ta có : \(M'H = \frac{{x - y}}{2};\,\,MH = \frac{{x + y}}{2}\).

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông NHM’ có :

\(NH = \sqrt {NM{'^2} - M'{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2} - \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{4}}  = \frac{{\left( {x - y} \right)\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông NHM có :

\(\begin{array}{l}MN = \sqrt {N{H^2} + M{H^2}} \\ = \sqrt {\frac{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}}  = \sqrt {\frac{{4{x^2} + 4{y^2} - 4xy}}{4}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2} - xy}  = \sqrt {{{\left( {a - x - y} \right)}^2}}  = \left| {a - x - y} \right|\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{AM}}{{MB}} + \frac{{AN}}{{NC}} = 1\\ \Rightarrow \frac{{AM}}{{MB}} < 1 \Rightarrow AM < MB\\ \Rightarrow AM + AM < AM + MB = AB = a\\ \Rightarrow AM < \frac{1}{2}a\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có \(AN < \frac{1}{2}a\)

\( \Rightarrow a - x - y > a - \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}a = 0 \Rightarrow \left| {a - x - y} \right| = a - x - y\)

Vậy \(MN = a - x - y\).