Cho phương trình: \({x^2} - (m + 1)x - 3 = 0,\;m\)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiên của \(m\) để phương trình có 2 nghiệm \({x_1};\;{x_2}.\)

+) Sử dụng định lý Vi-et để đưa B về toàn m, từ đó tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta  = {(m + 1)^2} + 12 > 0\) (luôn đúng với mọi m).

\( \Rightarrow \) phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} =  - 3\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có :

 \(\begin{array}{l}B = \frac{{3x_1^2 + 3x_2^2 + 4{x_1} + 4{x_2} - 5}}{{x_1^2 + x_2^2 - 4}} = \frac{{3\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5}}{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 4}}\\ = \frac{{3\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 4}}\\ = \frac{{3\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 6} \right] + 4\left( {m + 1} \right) - 5}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 6 - 4}} = \frac{{3{m^2} + 10m + 20}}{{{m^2} + 2m + 3}}\\ = 3 + \frac{{4m + 11}}{{{m^2} + 2m + 3}}.\end{array}\)

Ta có : \({m^2} + 2m + 3 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2 > 0\;\;\forall m.\)

Để biểu thức trên đạt GTLN thì :

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{{4m + 11}}{{{m^2} + 2m + 3}} \le \frac{1}{a}\;\;\left( {a > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 3 - 4ma - 11a \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2\left( {1 - 2a} \right)m + 3 - 11a \ge 0\;\;\;\left( * \right)\\ \Rightarrow \Delta ' = {(1 - 2a)^2} - (3 - 11a) = 4{a^2} - 4a + 1 - 3 + 11a = 4{a^2} + 7a - 2\\ \Rightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 4{a^2} + 7a - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2\;\left( {ktm} \right)\\a = \frac{1}{4}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{{4m + 11}}{{{m^2} + 2m + 3}} \le 4 \Leftrightarrow 4m + 11 \le 4{m^2} + 8m + 12\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} \ge 0.\end{array}\)

Dấu ‘’=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{2}.\)

Vậy giá trị cần tìm của \(m\) là : \(m =  - \frac{1}{2}.\)

Chọn A.