1) Tìm m để phương trình \({d_1}:y = \left( {{m^2}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(A\) có hoành độ bằng \( - 1\) thì \(-1\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Từ đó ta tìm được \(m.\)

2) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Giải chi tiết:

1) Tìm \(m\) để phương trình \({{d}_{1}}:\ y=\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2m-3\) cắt đường thẳng \(d:\ y=x-3\) tại điểm \(A\) có hoành độ bằng \(-1.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là:

\(\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+2m-3=x-3\Leftrightarrow {{m}^{2}}x+2m=0.\ \ \ \ \left( * \right)\)

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(A\) có hoành độ bằng \(-1\) thì \(x=-1\) là nghiệm của phương trình (*). Khi đó:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow  - {m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(m=0\) hoặc \(m=2.\)

2) Rút gọn biểu thức \(A=\left( \frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{x+2\sqrt{x}+1}+1\) với \(x>0,\ \ x\ne 1.\)

Điều kiện: \(x>0,\ \ x\ne 1.\)

\(\begin{align}  A=\left( \frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right):\frac{\sqrt{x}1}{x+2\sqrt{x}+1}+1 \\  \ \ \ =\left( \frac{1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}+1 \\  \ \ \ =\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}.\frac{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}-1}+1 \\  \ \ \ =-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}+1 \\  \ \ \ =\frac{-\sqrt{x}-1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=-\frac{1}{\sqrt{x}}. \\ \end{align}\)