1)     Hai đại biểu của trường A và trường B tham...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1)     Gọi số đại biểu của trường A là x (đại biểu) và số đại biểu của trường B là y (đại biểu) \(\left( x,y\in N*;x>y \right)\)

Mỗi đại biểu của trường A bắt tay với lần lượt từng đại biểu của trường B nên số cái bắt tay là \(xy\)

Vì số cái bắt tay bằng 3 lần tổng số đại biểu của cả hai trường nên \(xy=3\left( x+y \right)\)

\(\Rightarrow xy=3x+3y\Leftrightarrow x\left( y-3 \right)=3y\)

TH1: \(y=3\Leftrightarrow x.0=9\) (vô lí)

TH2: \(y\ne 3\Rightarrow y=\frac{3y}{y-3}=\frac{3y-9+9}{y-3}=3+\frac{9}{y-3}\)

Do \(x\in N*\Rightarrow y-3\in U\left( 9 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3;\pm 9 \right\}\)

 Vậy số đại biểu của trường A là 12 đại biểu và số đại biểu của trường B là 4 đại biểu.

2) Cho \(x,y,z\) là các số dương. Chứng minh rằng \(\frac{2\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}+\frac{2\sqrt{y}}{{{y}^{3}}+{{z}^{2}}}+\frac{2\sqrt{z}}{{{z}^{3}}+{{x}^{2}}}\le \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\) 

(Hướng dẫn Thầy Phạm Văn Phúc – Nam Định).

Do \(x,y,z>0\)

Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\begin{align}  & {{x}^{3}}+{{y}^{2}}\ge 2\sqrt{{{x}^{3}}{{y}^{2}}}=2\sqrt{x}.xy \\ & \Rightarrow \frac{1}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}\le \frac{1}{2\sqrt{x}.xy} \\ & \Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}\le \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}.xy} \\ & \Rightarrow \frac{2\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}\le \frac{1}{xy} \\\end{align}\)

Chứng minh tương tự ta có:

 \(\begin{align}  & \frac{2\sqrt{y}}{{{y}^{3}}+{{z}^{2}}}\le \frac{1}{yz} \\ & \frac{2\sqrt{z}}{{{z}^{3}}+{{x}^{2}}}\le \frac{1}{zx} \\\end{align}\)

\(\Rightarrow \frac{2\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}+\frac{2\sqrt{y}}{{{y}^{3}}+{{z}^{2}}}+\frac{2\sqrt{z}}{{{z}^{3}}+{{x}^{2}}}\le \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\left( 1 \right)\)

Mặt khác

\(\begin{align}  & \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}.\frac{1}{{{y}^{2}}}}=\frac{2}{xy} \\ & \frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{{{y}^{2}}}.\frac{1}{{{z}^{2}}}}=\frac{2}{yz} \\ & \frac{1}{{{z}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{{{z}^{2}}}.\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\frac{2}{xz} \\ & \Rightarrow 2\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}} \right)\ge 2\left( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz} \right) \\\end{align}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\le \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và  (2) ta suy ra: \(\frac{2\sqrt{x}}{{{x}^{3}}+{{y}^{2}}}+\frac{2\sqrt{y}}{{{y}^{3}}+{{x}^{2}}}+\frac{2\sqrt{z}}{{{z}^{3}}+{{x}^{2}}}\le \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Chọn A