a)      Rút gọn biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{{1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Sử dụng các hằng đẳng thức, quy đồng và rút gọn phân thức.

b)      Nhân thừa số thứ nhất với thừa số thứ ba, hai thừa số còn lại với nhau, đưa phương trình về dạng tích.

c)      Đưa phương trình thứ nhất của hệ về dạng tích và giải, sau đó thế vào phương trình thứ hai.

Giải chi tiết:

a)      Rút gọn biểu thức: \(P = \left( {\dfrac{{1 + \sqrt {{a^3}} }}{{a - 1}} + 1 - \sqrt a } \right)\sqrt {\dfrac{{a - 2\sqrt a  + 1}}{a}} \,\,\,\,\left( {a > 1} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{1 + \sqrt {{a^3}} }}{{a - 1}} + 1 - \sqrt a } \right)\sqrt {\dfrac{{a - 2\sqrt a  + 1}}{a}} \,\,\,\,\left( {a > 1} \right)\\P = \left( {\dfrac{{\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a  + a} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}} + 1 - \sqrt a } \right).\sqrt {\dfrac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{a}} \\P = \left( {\dfrac{{1 - \sqrt a  + a}}{{\sqrt a  - 1}} + 1 - \sqrt a } \right)\dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a }}\,\,\left( {Do\,\,a > 1 \Rightarrow \sqrt a  > 1 \Rightarrow \sqrt a  - 1 > 0} \right)\\P = \dfrac{{1 - \sqrt a  + a + \sqrt a  - 1 - a + \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}.\dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a }}\\P = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}.\dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a }} = 1.\end{array}\)

b)     Giải phương trình: \(x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 24\)

Phương trình trên tương đương với:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 24\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 24\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + x} \right) - 24 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x - 6} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\,\,\left( {Do\,\,{x^2} + x + 4 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 3.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2; - 3} \right\}\)

c)      Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2y = xy + 2x\\\sqrt {x + y}  = xy - 2\end{array} \right..\)

ĐKXĐ: \(x + y \ge 0\). Từ phương trình thứ nhất ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 2y = xy + 2x\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) + y\left( {2 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = y\end{array} \right.\\x = 2 \Rightarrow \sqrt {2 + y}  = 2y - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + y = {\left( {2y - 2} \right)^2}\\y \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{y^2} - 9y + 2 = 0\\y \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow y = 2\\x = y \Leftrightarrow \sqrt {2y}  = {y^2} - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} \ge 2\\2y = {y^4} - 4{y^2} + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} \ge 2\\\left( {y - 2} \right)\left( {{y^3} + 2{y^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2.\end{array}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;2} \right)\).