Giải phương trình: \(\sqrt {x + 3}  + \sqrt {3x +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của phương trình sau đó giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ \(a = \sqrt {x + 3} ;\;\;b = \sqrt {3x + 1} \) và chú ý mối tương quan \(a,b.\)

Giải chi tiết:

Ta có điều kiện xác định: \(x \ge  - \frac{1}{3}.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {x + 3} \;\;\\b = \sqrt {3x + 1} \end{array} \right.\left( {a,\;b \ge 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = x + 3\\{b^2} = 3x + 1\end{array} \right..\)  Khi đó ta có hệ phương trình sau đây:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + b = {a^2}\\3{a^2} - {b^2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = {a^2} - a\\3{a^2} - {\left( {{a^2} - a} \right)^2} = 8\;\;\;\left( * \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 3{a^2} - {a^4} + 2{a^3} - {a^2} = 8\\ \Leftrightarrow {a^4} - 2{a^3} - 2{a^2} + 8 = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^3}\left( {a - 2} \right) - 2\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {{a^3} - 2a + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {{a^2} + 2a + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\;\;\;\left( {tm} \right)\\a =  - 2\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow b = {a^2} - a = 4 - 2 = 2\;\;\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = {a^2} = 4\\3x + 1 = {b^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \(x = 1.\)

Chọn A.