Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1) Chứng minh rằng hai tam giác BKM và DEF đồng dạng.

 Vì BD, BF là các tiếp tuyến của đường tròn (I) (D, F là tiếp điểm) nên BF = BD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

⇒ ∆ BDF cân tại B

Mà M là trung điểm DF (gt) ⇒ BM ⊥ DF

Tứ giác BMDK có góc BMD + góc BKD = 180^o nên nó là tứ giác nội tiếp

⇒ góc MBK = góc FDE (góc trong và góc ngoài đối diện)                                                   (1)

và góc BKM = góc BDM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

Mặt khác xét (I) có góc BDM = góc FED (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung FD)

⇒ góc BKM = góc FED                                                                                                         (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \Delta BKM\backsim \Delta DEF\ \left( g.g \right)\)

2) Gọi L là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng DF, N là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MK và NL song song.

 Chứng minh tương tự ý 1) ta cũng có CNDL là tứ giác nội tiếp

⇒ góc BMK = góc BDK = góc NDC = góc NLC

Mặt khác ta có góc BMK + góc KMD = 90^o ; góc NLC + góc NLD = 90^o

⇒ góc KMD = góc NLD

⇒ MK // NL (hai góc so le trong bằng nhau)

3) Gọi J, X lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng KL, ID. Chứng minh rằng đường thẳng JX vuông góc với đường thẳng EF.

 Dễ thấy IM ⊥ MD và IN ⊥ ND

⇒ M, N cùng thuộc đường tròn tâm X, đường kính ID

Gọi P là trung điểm MN thì XP ⊥ MN                                               (3)

Vì MN là đường trung bình của ∆ DEF ⇒ MN // EF                        (4)

⇒ góc MNK = góc FED = góc BKM

Mà góc BKM + góc MKN = 90^o ⇒ góc MNK + góc MKN = 90^o

⇒ ∆ MNK vuông tại M

⇒ MK ⊥ MN                                                                                      (5)

Từ (3) và (5) ⇒ XP // MK

Ta có PJ là đường trung bình của hình thang MKLN ⇒ PJ // MK

Theo tiên đề Ơclit về đường thẳng song song ta có P, X, J thẳng hàng

⇒ XJ // MK                                                                                         (6)

Từ (4), (5) và (6) ⇒ XJ ⊥ EF