Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 4 = 0\;\;\left...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Thay \(m = 8\) vào phương trình (1) sau đó dùng công thức nghiệm để giải phương trình hoặc đưa phương trình về dạng phương trình tích.

+) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \Leftrightarrow \Delta  > 0\;\;\forall m.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) và bất đẳng thức bài cho để tìm điều kiện của \(m.\)

+) Kết hợp với điều kiện \(m \ne {Z^ + }\) để kết luận giá trị của \(m.\)

Giải chi tiết:

a) Giải phương trình (1) khi \(m = 8.\)

Thay \(m = 8\) vào phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 8 - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 4 = 0.\end{array}\)

Có: \(\Delta ' = {4^2} - 4 = 12 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3 .\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 4 + 2\sqrt 3 \\{x_2} = 4 - 2\sqrt 3 \end{array} \right..\)

Vậy với \(m = 8\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {4 - 2\sqrt 3 ;4 + 2\sqrt 3 } \right\}.\)

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) với mọi \(m.\) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(m\) để \(\left( {5{x_1} - 1} \right)\left( {5{x_2} - 1} \right) < 0.\)

\({x^2} - mx + m - 4 = 0\;\;\left( 1 \right),\)

Ta có: \(\Delta  = {m^2} - 4\left( {m - 4} \right) = {m^2} - 4m + 16 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 12 > 0\;\;\forall m.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left( {5{x_1} - 1} \right)\left( {5{x_2} - 1} \right) < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 25{x_1}{x_2} - 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\\ \Leftrightarrow 25\left( {m - 4} \right) - 5m + 1 < 0\\ \Leftrightarrow 20m < 99\\ \Leftrightarrow m < \frac{{99}}{{20}} = 4,95.\end{array}\)                                           

Vậy \(m \in {Z^ + }\) thỏa mãn bài toán là: \(m \in \left\{ {1;\;2;\;3;\;4} \right\}.\)