Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tập hợp các điểm M cách đều ba điểm A, B, C (A, B, C không thẳng hàng) là đường thẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) tại tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(A\left( {0;0;1} \right),\,B\left( { - 1; - 2;0} \right)\), \(C\left( {2;0; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 2; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2;0; - 2} \right) \Rightarrow A,B,C\) không thẳng hàng.

Nhận xét: Tập hợp các điểm M cách đều ba điểm A, B, C (A, B, C không thẳng hàng) là đường thẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) tại tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có 1 VTPT là: \(\overrightarrow n  = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 1;1} \right)\), có phương trình là:

\(1\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + z - 1 = 0\).

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b + c - 1 = 0\\I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b + c - 1 = 0\\{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c + 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b + c - 1 = 0\\a + 2b + c + 2 = 0\\a - c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b =  - 1\\c =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{1}{2}} \right)\end{array}\)

\(\Delta \) đi qua \(I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{1}{2}} \right)\) và có 1 VTCP là \(\left( {1; - 1;1} \right)\), có phương trình là: \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2} + t\\y =  - 1 - t\\z =  - \dfrac{1}{2} + t\end{array} \right.\).

Chọn: D