1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-2m+4...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Phương trình có hai nghiệm không âm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta '\ge 0 \\  & S\ge 0 \\  & P\ge 0 \\ \end{align} \right.\)

2) Tách tử theo mẫu, đưa về dạng \(y=A\left( x \right)+\frac{C}{x+2}\)với C là hằng số, khi đó để \(y\in Z\)thì \(\left( x+2 \right)\in U\left( C \right)\)

Giải chi tiết:

1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-2m+4=0\,\,\,\left( 1 \right)\)(với m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm không âm \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) Tính theo m giá trị của biểu thức \(P=\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}\) và tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Phương trình có hai nghiệm không âm  

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0\\
S \ge 0\\
P \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - {m^2} + 2m - 4 \ge 0\\
2m \ge 0\\
{m^2} - 2m + 4 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge 2\\
m \ge 0\\
{\left( {m - 1} \right)^2} + 3 \ge 0\,\,\,\left( {luon\,dung} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 2\)

Gọi \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\)là hai nghiệm của phương trình đã cho ta có \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-2m+4 \\ \end{align} \right.\)(định lí Vi-et).

\(P=\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}\ge 0\Rightarrow {{P}^{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=2m+2\sqrt{{{m}^{2}}-2m+4}\)

Với \(m\ge 2\) ta có:

\(\begin{align}  & {{P}^{2}}=2m+2\sqrt{m\left( m-2 \right)+4}\ge 2.2+2\sqrt{2\left( 2-2 \right)+4}=8. \\  & \Rightarrow {{P}^{2}}\ge 8\Leftrightarrow P\ge 2\sqrt{2}. \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow m=2.\)

Vậy \(Min\ \ P=2\sqrt{2}\ \ khi\ \ m=2.\)

2) Cho hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+2}{x+2}\) Tìm tất cả các giá trị x nguyên để y nguyên.

Ta có \(y=\frac{{{x}^{2}}+2}{x+2}=\frac{{{x}^{2}}-4+6}{x+2}=x-2+\frac{6}{x+2}\)

Để \(y\in Z\Rightarrow \left( x+2 \right)\in U\left( 6 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 6 \right\}\)

Vậy tập hợp các giá trị của x nguyên để y nguyên là \(\left\{ -3;-1;-4;0;-5;1;-8;4 \right\}\)

Chọn A