a) Cho \(\sin \alpha  = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\alpha...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) để tính \(\cos \alpha \), từ đó tính \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right)\) bởi công thức: \(\cos \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  \mp \sin \alpha \sin \beta \)

b) Sử dụng các công thức lượng giác biến đổi VT và VP về cùng bằng 1 biểu thức thứ 3

\(\begin{array}{l}\tan \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha  \pm \tan \beta }}{{1 \mp \tan \alpha .\tan \beta }};\;\;\;\; & \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1;\; &  &  & \sin 2x = 2\sin x\cos x\\\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x.\end{array}\)  

Giải chi tiết:

a) Cho \(\sin \alpha  = \frac{2}{3}\,\,;\,\,\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Ta có: \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha  < 0\)

\(\sin \alpha  = \frac{2}{3} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

\(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{4} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{4} =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} =  - \frac{{\sqrt {10}  + 2\sqrt 2 }}{6}\)

b) Chứng minh rằng \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}}\), với giả thiết các biểu thức có nghĩa.

\(\begin{array}{l}VT = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}} = \frac{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}}.\\VP = \frac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x - 2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}\\\;\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}}{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}} = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}}.\\ \Rightarrow VT = VP\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\) 

Chọn A.