Định \(m\) để biểu thức sau luôn âm với mọi \(x \i...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng  \(\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)\)  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,{x_2}} \right).\)

Giải chi tiết:

Định m để biểu thức sau luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) : \(f\left( x \right) = \left( {2 - m} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 1 - m\)

+) Với \(2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2\) biểu thức có dạng :

\(f\left( x \right) =  - 2x - 1 < 0 \Leftrightarrow x >  - \frac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right) \Rightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right).\) 

+) Với \(2 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\)

Để biểu thức luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {2 - m} \right)\left( {1 - m} \right) < 0\\2 - m < 0\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - 2 + 3m - {m^2} < 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m + 7 < 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{7}{3}\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{7}{3}\)

Vậy với \(m > \frac{7}{3}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Chọn A.