Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)có đáy ABC là...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Kéo dài \(A'M\) cắt AC tại N.

Suy ra \(AN = 2AC = 4a\) và

\(d\left( {A;\left( {A'BM} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {A'BN} \right)} \right)\)

Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên BN suy ra \(AE \bot BN\)

Kẻ \(AF \bot A'E\left( {F \in A'E} \right).\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BN \bot AE\\BN \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow BN \bot \left( {A'AE} \right)\)  

Suy ra \(BN \bot AF\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AF \bot \left( {A'BN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BN} \right)} \right) = AF\)

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABN có \(BN = \sqrt {A{B^2} + A{N^2} - 2.AB.AN.cos\widehat {BAC}}  = a\sqrt {21} \)

Ta có: \({S_{ABN}} = \dfrac{1}{2}AB.AN.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.BN.AE\) suy ra \(AE = \dfrac{{AB.AN.sin\widehat {BAC}}}{{BN}} = \dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7}\)

Trong tam giác vuông \(A'AE\) có: \(AK = \dfrac{{AA'.AE}}{{A'E}} = \dfrac{{AA'.AE}}{{\sqrt {AA{'^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}.\)

Chọn B.