Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả cá...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M trên (ABCD) bằng cách từ M kẻ song song với SO.

+) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Giải chi tiết:

Gọi G là giao điểm của BM và SO.

Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại N. Khi đó ta có \(MN//SO\Rightarrow MN\bot \left( ABCD \right).\)

\(\Rightarrow \) N là hình chiếu của M trên (ABCD).

\(\Rightarrow \widehat{\left( BM;\ \ \left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( BM;\ BD \right)}=\widehat{MBD}.\)

Xét tam giác SBD ta có MB và BD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G \(\Rightarrow \) G là trọng tâm tam giác SBD.

\(\Rightarrow OG=\frac{1}{3}SO\)

Ta có: \(BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow OG=\frac{a\sqrt{2}}{6}.\)

\(\Rightarrow \tan \widehat{MBD}=\frac{OG}{OB}=\frac{a\sqrt{2}}{6}.\frac{2}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{3}.\)

Chọn D.