Cho \(a,b,c,d\)  là các số thực thay đổi thỏa mãn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\cos \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  \mp \sin \alpha \sin \beta \) để tìm giá trị nhỏ nhất của \(3a + 4b\) từ đó tìm giá trị lớn nhất của \(P\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow {\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \) Gọi \(\alpha \) là góc có \(\sin \alpha  = \frac{a}{{\sqrt 2 }};\cos \alpha  = \frac{b}{{\sqrt 2 }}\)

Lại có: \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \) Gọi \(\beta \) là góc có \(\sin \beta  = \frac{3}{5};\cos \beta  = \frac{4}{5}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{3}{5} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}.\frac{4}{5} = \sin \alpha \sin \beta  + \cos \alpha \cos \beta  = \cos \left( {\alpha  - \beta } \right) \ge  - 1\\ \Rightarrow 3a + 4b \ge  - 5\sqrt 2 .\end{array}\) 

Ta có: \({c^2} + {d^2} + 25 = 6c + 8d \Leftrightarrow \left( {{c^2} - 6c + 9} \right) + \left( {{d^2} - 8d + 16} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {c - 3} \right)^2} + {\left( {d - 4} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {c - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\forall c\\{\left( {d - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\forall d\end{array} \right. \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow c - 3 = d - 4 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 3\\d = 4\end{array} \right.\)

Khi đó \(P = 9 + 16 - \left( {3a + 4b} \right) = 25 - \left( {3a + 4b} \right) \le 25 - \left( { - 5\sqrt 2 } \right) = 25 + 5\sqrt 2 \)

Chọn B.