Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

a) Chứng minh sđ cung DN = sđ cung DM.

b) Chứng minh tứ giác BNDI có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

c) Dựa vào các điểm cố định và điều kiện I là trung điểm của MN.

Giải chi tiết:

a) \(DN = DM\) và \(DI \bot MN\)

Ta có \(\widehat {NAD} = \widehat {MAD}\,\,\left( {gt} \right)\) (Do AD là tia phân giác của góc MAN)

Nên sđ cung DN = sđ cung DM (hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow DN = DM\) (hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

\( \Rightarrow \Delta DMN\) cân tại D \( \Rightarrow \) Trung tuyến DI đồng thời là đường cao \( \Rightarrow DI \bot MN\).

b) Tứ giác BNDI nội tiếp

Ta có \(\widehat {DNM} = \widehat {DAM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DM).

Mà \(\widehat {DAM} = \widehat {DAN}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {DNM} = \widehat {DAN}\)

\( \Rightarrow {90^0} - \widehat {DNM} = {90^0} - \widehat {DAN} \Leftrightarrow \widehat {NDI} = \widehat {ABC}\) (Do tam giác ABC cân tại A nên phân giác AD đồng thời là đường cao, tức là: \(AD \bot BC\) )

Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {IBN} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {NDI} + \widehat {IBN} = {180^0} \Rightarrow \) tứ giác BNDI nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định (khác điểm A) khi M di chuyển trên cạnh AC.