Cho tam giác ABC đều, đường tròn nội tiếp...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ dữ kiện đề bài viết phương trình BC. Tìm tọa độ điểm I là hình chiếu của tâm O trên BC. Lập luận để suy ra mối quan hệ giữa \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {IO} \) từ đó tìm tọa độ điểm A

Giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) nội tiếp tam giác ABC có phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\)

\( \Rightarrow \) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {1;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right) \ne \overrightarrow 0 \) là 1 VTPT của \(BC,\,\,\,M\left( {\frac{7}{2};2} \right) \in BC\)

\( \Rightarrow \) Phương trình BC :

\(a\left( {x - \frac{7}{2}} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - \frac{{7a}}{2} - 2b = 0\)

Vì đường tròn \(\left( C \right)\) nội tiếp tam giác ABC

\( \Rightarrow \) BC tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {O;BC} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 2b - \frac{{7a}}{2} - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow \left| { - \frac{5}{2}a} \right| = \sqrt {5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}  \Leftrightarrow \frac{{25}}{4}{a^2} = 5{a^2} + 5{b^2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{4}{a^2} = {b^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = 4\,\,\,\,\left( {do\,\,\overrightarrow n  = \left( {a,b} \right) \ne \overrightarrow 0 } \right)\end{array}\)

TH1: \(\frac{a}{b} = 2 \Rightarrow \) Chọn \(a = 2;b = 1 \Rightarrow \) Phương trình BC: \(2x + y - 9 = 0\) 

Gọi \({\Delta _1}\) là đường trung trực của BC

\( \Rightarrow {\Delta _1}\)  cũng là đường trung tuyến từ đỉnh A và phân giác góc A (\(\Delta ABC\) đều)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 1;2} \right)\) là VTPT của \({\Delta _1};\,\,O\left( {1;2} \right) \in {\Delta _1}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \({\Delta _1}\) : \( - \left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y - 3 = 0\)

Gọi \(BC \cap {\Delta _1} = \left\{ I \right\} \Rightarrow \) Tọa độ điểm I  là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 9 = 0\\ - x + 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IO}  = \left( { - 2; - 1} \right)\)

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A} - 1;{y_A} - 2} \right)\)

Vì \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow O\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là trọng tâm của tam giác ABC

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow {IO}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 1 =  - 4\\{y_A} - 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 3\\{y_A} = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;0} \right)\)

TH2: \(\frac{a}{b} =  - 2 \Rightarrow \) Chọn \(a =  - 2;b = 1\) \( \Rightarrow \) Phương trình BC: \( - 2x + y + 5 = 0\) 

Gọi \({\Delta _2}\) là đường trung trực của BC

\( \Rightarrow {\Delta _2}\)  cũng là đường trung tuyến từ đỉnh A và phân giác góc A (\(\Delta ABC\) đều)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)\) là VTPT của \({\Delta _2};\,\,O\left( {1;2} \right) \in {\Delta _2}\)  

\( \Rightarrow \) Phương trình \({\Delta _2}\) : \(\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0\)

Gọi \(BC \cap {\Delta _2} = \left\{ I \right\} \Rightarrow \) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y + 5 = 0\\x + 2y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IO}  = \left( { - 2;1} \right)\)

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A} - 1;{y_A} - 2} \right)\)

Vì \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \) O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC cũng là trọng tâm của tam giác ABC

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow {IO}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 1 =  - 4\\{y_A} - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 3\\{y_A} = 4\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;4} \right)\)

Vậy có 2 điểm A thỏa mãn yêu cầu đề bài \(A\left( { - 3;0} \right)\) và \(A\left( { - 3;4} \right).\)

Chọn A.