Gọi \(\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \) lần lượt là góc...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi H là trực tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh \(OH \bot \left( {ABC} \right)\). Từ đó xác định các góc \(\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma \).

+) Chứng minh \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\), từ đó chứng minh \({\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  = 1\).

+) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết:

Trong \(\left( {OBC} \right)\) kẻ \(OM \bot BC\), trong \(\left( {OAM} \right)\) kẻ \(OH \bot AM\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot OA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\).

Lại có \(OH \bot AM \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle \left( {OA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OA;HA} \right) = \angle OAH = \alpha \\\,\,\,\,\,\,\angle \left( {OB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OB;HB} \right) = \angle OBH = \beta \\\,\,\,\,\,\angle \left( {OC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OC;HC} \right) = \angle OCH = \gamma \end{array}\)

Ta có: \(\sin \alpha  = \dfrac{{OH}}{{OA}};\,\,\sin \beta  = \dfrac{{OH}}{{OB}};\,\,\sin \gamma  = \dfrac{{OH}}{{OC}}\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  = O{H^2}\left( {\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có \(\dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{O{M^2}}}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM ta có:

\(\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}}\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\beta  + {\sin ^2}\gamma  = O{H^2}\left( {\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}} \right) = O{H^2}.\dfrac{1}{{O{H^2}}} = 1\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}{P^2} = {\left( {P = \cos \alpha  + cos\beta  + cos\gamma } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha  + co{s^2}\beta  + co{s^2}\gamma } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \le 3\left[ {3 - \left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\beta  + {{\sin }^2}\gamma } \right)} \right] = 3\left[ {3 - 1} \right] = 6\\ \Leftrightarrow  - \sqrt 6  \le P \le \sqrt 6 \end{array}\)

Vậy \({P_{\max }} = \sqrt 6 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \cos \alpha  = \cos \beta  = \cos \gamma  = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).