Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường trò...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Diện tích hình viên phân bởi các cung và các dây cung chính là hiệu diện tích hình tròn và diện tích tứ giác.

Giải chi tiết:

a)     CMR: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IC là phân giác trong của góc C.

Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC của góc A nên  CK là phân giác ngoài của góc C.

Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có IC vuông CK nên \( \angle ICK={{90}^{0}}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\angle IBK={{90}^{0}}\)

Xét tứ giác BICK ta có: \( \angle IBK+\angle ICK={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}.\)  

\( \Rightarrow BICK\)  là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \( {{180}^{0}}\) )

Do O là trung điểm của IK nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì OC = OI = OK.

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC.

b)     CMR: AC là tiếp tuyến của (O).

Ta có : Tam giác IOC cân tại O nên : \( \angle OIC=\angle OCI.\)

Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có :

\( \begin{align}  & \angle OIC=\angle IAC+\angle ACI=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC \\ & \Rightarrow \angle ICO+\angle ICA=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}{{.180}^{0}}={{90}^{0}} \\ & \Rightarrow OC\bot CA. \\\end{align}\)

Do đó AC là tiếp tuyến của (O) tại C (đpcm).

c)     Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.

Gọi diện tích hình cần tính là S, diện tích hình tròn (O) là S’, gọi giao điểm BC và IK là M.

Ta có ngay :

\( \begin{align}  & S=S'-{{S}_{ICKB}}=\pi I{{O}^{2}}-{{S}_{IBK}}-{{S}_{IKC}} \\ & =\pi \frac{I{{K}^{2}}}{4}-\frac{BM.IK}{2}-\frac{CM.IK}{2} \\ & =\pi \frac{I{{K}^{2}}}{4}-\frac{BC.IK}{2}. \\\end{align}\)

Ta có :

\( \begin{align}  & \ \ \ \ \ {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AM.BC=\frac{AB+BC+CA}{2}.IM \\ & \Leftrightarrow \sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}.24=\left( AB+BC+CA \right).IM \\ & \Leftrightarrow \sqrt{{{20}^{2}}-{{\left( \frac{24}{2} \right)}^{2}}}.24=\left( 20.2+24 \right).IM \\ & \Leftrightarrow IM=6. \\\end{align}\)  

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \( IBM\)  vuông tại \(B\)  có đường cao \( BM\)  ta có :

\( \begin{align}  & B{{M}^{2}}=IM.MK\Leftrightarrow MK=\frac{B{{M}^{2}}}{IM}=\frac{{{12}^{2}}}{6}=24. \\ & \Rightarrow IM=IM+MK=6+24=30. \\ & \Rightarrow S=\frac{1}{4}\pi I{{K}^{2}}-\frac{1}{2}BC.IK=\frac{1}{4}\pi {{.30}^{2}}-\frac{1}{2}.24.30 \\ & \ \ \ \ \ \ \ =225\pi -360\approx 346,86\ \ \left( dvdt \right). \\\end{align}\)