a) Rút gọn biểu thức \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\fra...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phép liên hợp để khử căn thức ở mẫu

b) Sử dụng kết quả ở câu a

Giải chi tiết:

a) 

\(\begin{align}  & A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}} \\ & =\frac{1-\sqrt{2}}{\left( 1+\sqrt{2} \right)\left( 1-\sqrt{2} \right)}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}+...+\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2018}}{\left( \sqrt{2017}+\sqrt{2018} \right)\left( \sqrt{2017}-\sqrt{2018} \right)} \\ & =\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2018}}{2017-2018} \\ & =\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2018}-\sqrt{2017} \\ & =\sqrt{2018}-1 \\\end{align}\)

Vậy \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}=\sqrt{2018}-1\)

b)

 Ta có:

\(\begin{align}  & +)\ \ 1<\sqrt{2}\Rightarrow 2<1+\sqrt{2}\Rightarrow 1>\frac{2}{1+\sqrt{2}} \\ & +)\ \ \sqrt{2}<\sqrt{3}\Rightarrow 2\sqrt{2}<\sqrt{2}+\sqrt{3}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \\ & +)\ ............... \\ & +)\ \sqrt{2017}<\sqrt{2018}\Rightarrow 2\sqrt{2017}<\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2017}}>\frac{2}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}. \\\end{align}\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có:

\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}}>2\left( \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}} \right)\)

Mà có : \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}=\sqrt{2018}-1\) (chứng minh ở câu a)

Suy ra \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}}>2\left( \sqrt{2018}-1 \right)\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chọn D