a) Cho \(x,y,z\) là các số thực d...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng bất đẳng thức :\(\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}+\frac{{{z}^{2}}}{c}\ge \frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{a+b+c}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

b) Sử dụng tính chất: Số chính phương khi chia 8 dư 0, 1, 4

Giải chi tiết:

 a) dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}}{x}+\frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{{{\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1 \right)}^{2}}}{x+y+z}=\frac{49}{16}\ \ \left( do\ \ \ x+y+z=1 \right)\) \(\)

Dấu “=” xảy ra

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
\frac{x}{{\frac{1}{4}}} = \frac{y}{{\frac{1}{2}}} = \frac{z}{1}\;\;\;\left( * \right)
\end{array} \right.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:  

\(\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{y}{\frac{1}{2}}=\frac{z}{1}=\frac{x+y+z}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1}=\frac{4}{7}\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=\frac{4}{7}.\frac{1}{4}=\frac{1}{7} \\ & y=\frac{4}{7}.\frac{1}{2}=\frac{2}{7} \\ & z=\frac{4}{7}.1=\frac{4}{7} \\\end{align} \right.\)  

Vậy đẳng thức xảy ra khi \(\left( x;\ y;\ z \right)=\left( \frac{1}{7};\ \frac{2}{7};\ \frac{4}{7} \right)\)  

b) Ta có

\(\begin{align} & A=\left( {{2}^{z+1}}+42 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1 \right)=\left( {{2.2}^{z}}+42 \right)\left[ {{x}^{2}}\left( {{y}^{2}}+1 \right)+\left( {{y}^{2}}+1 \right) \right] \\ & \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right). \\\end{align}\)

Theo đề bài : \(x+y+xy=1\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow A=2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left( {{x}^{2}}+x+y+xy \right)\left( {{y}^{2}}+x+y+xy \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left[ x\left( x+1 \right)+y\left( x+1 \right) \right]\left[ y\left( y+1 \right)+x\left( y+1 \right) \right] \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left( x+1 \right)\left( x+y \right)\left( y+1 \right)\left( x+y \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right){{\left( x+y \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right){{\left( x+y \right)}^{2}}\left( x+y+xy+1 \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =4{{\left( x+y \right)}^{2}}\left( {{2}^{z}}+21 \right). \\\end{align}\)

Nhận thấy để \(A\) là số chính phương thì \({{2}^{z}}+21\) phải là số chính phương (do \(4{{\left( x+y \right)}^{2}}\) đã là số chính phương )

+) Chứng minh các số chính phương chia 8 dư 0 , 1 , 4

Ta thấy tất cả các số tự nhiên đều có 1 trong 4 dạng sau : \(4k;4k+1;4k+2;4k+3\) với \(k\in \mathbb{N}\)

Lần lượt xét các số chính phương : \(\)

\(-))\frac{{{\left( 4k \right)}^{2}}}{8}\) dư 0  

\(-\frac{{{\left( 4k+1 \right)}^{2}}}{8}=2{{k}^{2}}+k+\frac{1}{8}\) dư 1

\(-)\frac{{{\left( 4k+2 \right)}^{2}}}{8}=2{{k}^{2}}+2k+\frac{4}{8}\) dư 4

\(-)\frac{{{\left( 4k+3 \right)}^{2}}}{8}=2{{k}^{2}}+3k+1+\frac{1}{8}\) dư  1

Vậy ta có điều cần chứng minh.

+) Xét \({{2}^{z}}+21\) ta thấy với \(z>3\) suy ra \(\frac{{{2}^{z}}+16+5}{8}={{2}^{z-3}}+2+\frac{5}{8}\)

\(\Rightarrow {{2}^{z}}+21\) chia 8 dư 5 (không thỏa mãn điều kiện là số chính phương)

+) Với \(z=2\) ta có: \({{2}^{z}}+21=4+21=25={{5}^{2}}\) là số chính phương.

+) Với \(z=1\) ta có: \({{2}^{z}}+21=2+21=23\) không là số chính phương.

+) Với \(z=0\) ta có: \({{2}^{z}}+21=1+21=22\) không là số chính phương.

Suy ra ta thấy chỉ có \(z=2\) để \(A\) là số chính phương.

+) Để\(A\) là số chính phương lớn nhất thì \({{\left( x+y \right)}^{2}}\) lớn nhất

Theo đề bài ta có: \(x+y+xy=1\Leftrightarrow x\left( y+1 \right)=1-y\Rightarrow x=\frac{1-y}{1+y}=\frac{2}{1+y}-1\ \ \left( y\ne -1 \right)\)

Mà \(x \in Z \Rightarrow \left( {1 + y} \right) \in U\left( 2 \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 + y = - 1\\
1 + y = 1\\
1 + y = 2\\
1 + y = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = - 2 \Rightarrow x = - 3\\
y = 0 \Rightarrow x = 1\\
y = 1 \Rightarrow x = 0\\
y = - 3 \Rightarrow x = - 2
\end{array} \right..\)

Với \(y=-1\Rightarrow x-1-x=1\Rightarrow 0x=2\) (vô lý).

Nhận thấy với \(y=-2;x=-3\) thì \({{\left( x+y \right)}^{2}}\) lớn nhất

Vậy số chính phương lớn nhất tìm được là : \(A=4.{{\left( -2-3 \right)}^{2}}.\left( {{2}^{2}}+21 \right)=2500={{50}^{2}}\)

Vậy \(x=-3;y=-2;z=2\) là các giá trị cần tìm.

Chọn D