a) Chứng minh rằng phương trình \((a{x^2} + 2bx +...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Giải phương trình tích.

b) Tìm điều kiện của \(m\) để \(d\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

+) Tìm tọa độ các điểm A, B.

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét và các giả thiết bài cho để tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi số thực a, b, c \((a{x^2} + 2bx + c)(b{x^2} + 2cx + a)(c{x^2} + 2ax + b) = 0\).

Ta có: \(\left( {a{x^2} + 2bx + c} \right)\left( {b{x^2} + 2cx + a} \right)\left( {c{x^2} + 2ax + b} \right) = 0\,\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a{x^2} + 2bx + c = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b{x^2} + 2cx + a = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\c{x^2} + 2ax + b = 0\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} = 4{b^2} - 4ac = 4({b^2} - ac)\\{\Delta _2} = 4{c^2} - 4ba = 4({c^2} - ab)\\{\Delta _3} = 4{a^2} - 4bc = 4({a^2} - bc)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \Delta _1^{} + \Delta _2^{} + \Delta _3^{} = 4({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc) = 2{\left( {a - b} \right)^2} + 2{\left( {a - c} \right)^2} + 2{\left( {b - c} \right)^2}\\ \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} + {\Delta _3} \ge 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Luôn tồn tại 1 biểu thức \(\Delta  \ge 0 \Rightarrow \left( * \right)\) luôn có nghiệm với mọi \(a,\,b,\,c.\)

b) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy cho \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = mx + 2m,\,\,m\)  là tham số. Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d) với trục hoành và trục tung. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm C và D nằm về 2 phía trục tung sao cho C có hoành độ âm, \(BD = 2AC.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right):\,\,{x^2} = mx + 2m \Leftrightarrow {x^2} - mx - 2m = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Có : \(\Delta  = {m^2} + 8m.\)

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 8m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 8\end{array} \right..\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}d \cap Ox = \left\{ A \right\} \Rightarrow A\left( { - 2;\,0} \right)\\d \cap Oy = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {0;\,\,2m} \right)\end{array} \right..\)

Gọi \(C\left( {{x_1};\,{y_1}} \right),\,\,D\left( {{x_2};\,{y_2}} \right)\) là các giao điểm của \(d,\,\,\left( P \right) \Rightarrow {x_1},\,\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \(\left( * \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} =  - 2m\end{array} \right..\)

C và D nằm về 2 phía trục tung và C có hoành độ âm nên : \({x_1} < 0;\,\,{x_2} > 0 \Rightarrow {x_1}{x_2} < 0 \Leftrightarrow  - 2m < 0 \Leftrightarrow m > 0.\)

Gọi E và F thứ tự là hình chiếu của C lên trục Ox và D lên trục Oy.

\(\begin{array}{l}CE = \left| {{y_1}} \right| = \left| {m{x_1} + 2m} \right| = m\left( {{x_1} + 2} \right).\\BF = \left| {{y_F} - {y_B}} \right| = \left| {{y_2} - {y_B}} \right| = m{x_2} + 2m - 2m = m{x_2}.\end{array}\)

Ta có \(DF//{\rm{ }}Ox\) và \(CE{\rm{ }}//{\rm{ }}Oy\) nên :

\(\begin{array}{l}\Delta ACE \sim \Delta DBF(g.g)\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CE}}{{FB}} = \frac{1}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{m\left( {{x_1} + 2} \right)}}{{m{x_2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + 2}}{{{x_2}}} = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {do\,\,m > 0} \right)\\ \Rightarrow {x_2} = 2{x_1} + 4 \Rightarrow {x_1} + 2{x_1} + 4 = m\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{m - 4}}{3}\\{x_2} = \frac{{2m + 4}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {m - 4} \right)\left( {2m + 4} \right) =  - 18m\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 18m - 16 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 7m - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 8} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 8\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy giá trị cần tìm là \(m = 1.\)

Chọn B.