Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{arr...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi hệ phương trình về dạng \(\left\{ \begin{array}{l}{A^2} + {B^2} = m\\A + B = n\end{array} \right.\)

Đặt \(a = \frac{1}{x} + x;\;\;b = y - \frac{1}{y}\;\;\left( {x,\;y \ne 0} \right).\)

Giải hệ phương trình với ẩn a; b rồi tìm ra x, y.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x;\,y \ne 0\) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} + y - \frac{1}{y} = 3\\{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + {y^2} + \frac{1}{{{y^2}}} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} + y - \frac{1}{y} = 3\\{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{y}} \right)^2} = 5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,(I)\)

Đặt \(a = \frac{1}{x} + x;b = y - \frac{1}{y}\) với \({a^2} \ge 4\)

Thay vào hệ (I) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 5\\a + b = 3\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 5 \Leftrightarrow 9 - 2ab = 5 \Leftrightarrow ab = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Mà \({a^2} \ge 4\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = 2\\y - \frac{1}{y} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 = 0\\{y^2} - y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\;\;\left( {tm} \right)\\y = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: \(\left( {1;\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\;\;\left( {1;\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right).\)