Cho parabol (P) : \(y = \frac{1}{2}{x^2},(d):y = \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Lập phương trình hoành độ tìm giao điểm.

- d // d’ thì hệ số góc của chúng phải như nhau, tiếp xúc tức chúng chỉ có 1 giao điểm.

Giải chi tiết:

Cho parabol (P) : \(y = \frac{1}{2}{x^2},(d):y = \frac{1}{2}x + 3.\)

a) Vẽ đồ thị của d và (P) trên mặt phẳng Oxy và tìm giao điểm của chúng.

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) là parabol đi qua các điểm \(\left( { - 4;\;8} \right),\;\left( { - 2;\;2} \right),\;\left( {0;\;0} \right),\;\left( {2;\;2} \right),\;\left( {4;\;8} \right).\)

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( { - 6;\;0} \right),\;\;\left( { - 2;\;2} \right).\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng d  là:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{1}{2}{x^2} = \frac{1}{2}x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow (x - 3)(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 \Rightarrow y = 4\\x = 3 \Rightarrow y = \frac{9}{2}\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy giao điểm là: \(\left( { - 2;\;4} \right),\;\;\left( {3;\;\frac{9}{2}} \right).\)

b) Viết phương trình d’ // d và tiếp xúc với parabol (P). Tìm tiếp điểm.

Do d’ // d nên phương trình d’ có dạng: \(y = \frac{1}{2}x + m\;\;\left( {m \ne 3} \right).\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d'\) là: \(\frac{1}{2}{x^2} = \frac{1}{2}x + m \Leftrightarrow {x^2} - x - 2m = 0\;\;\;\left( * \right)\)

Do d’ tiếp xúc với d nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất:

\( \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow 1 + 8m = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{8}\;\;\left( {tm} \right).\)

Với \(m =  - \frac{1}{8} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - x + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{8}.\)

Vậy: \(d':y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}.\) Tọa độ giao điểm của \(d'\) và \(\left( P \right)\) là: \(\left( {\frac{1}{2};\;\frac{1}{8}} \right).\)

Chọn đáp án A