1) Tính giá trị biểu thức: \(P = \left( {1 - \frac...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Sử dụng công thức tính nhanh: \(1 + 2 + .. + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

2) Lấy tổng 2 vế ta sẽ được nhân tử chung là a + b – 2.

Giải chi tiết:

1) Tính giá trị biểu thức:

Ta có: \(1 + 2 = 3 = \frac{{2.3}}{2} \Rightarrow \frac{1}{{1 + 2}} = \frac{2}{{2.3}}\)

\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 = 6 = \frac{{3.4}}{2} \Rightarrow \frac{1}{{1 + 2 + 3}} = \frac{2}{{3.4}}\\........\\1 + 2 + 3 + .... + 2018 = \frac{{2018.2019}}{2} \Rightarrow \frac{1}{{1 + 2 + .... + 2018}} = \frac{2}{{2018.2019}}\\P = \left( {1 - \frac{2}{{2.3}}} \right)\left( {1 - \frac{2}{{3.4}}} \right)...\left( {1 - \frac{2}{{2018.2019}}} \right)\\ = \frac{{2.3 - 2}}{{2.3}}.\frac{{3.4 - 2}}{{3.4}}.......\frac{{2018.2019 - 2}}{{2018.2019}}\\ = \frac{4}{{2.3}}.\frac{{10}}{{3.4}}.........\frac{{4074340}}{{2018.2019}}\\ = \frac{{1.4}}{{2.3}}.\frac{{2.5}}{{3.4}}.\frac{{3.6}}{{4.5}}......\frac{{2016.2019}}{{2017.2018}}.\frac{{2017.2020}}{{2018.2019}}\\ = \frac{{(1.2..2017).(4.5..2020)}}{{(2.3...2018).(3.4.5...2019)}}\\ = \frac{{1.2020}}{{2018.3}} = \frac{{2020}}{{6054}} = \frac{{1010}}{{3027}}.\end{array}\)

2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn biểu thức: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^3} - 3{a^2} + 5a - 17 = 0\\{b^3} - 3{b^2} + 5b + 11 = 0\end{array} \right.\).

Chứng minh rằng a + b = 2.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^3} - 3{a^2} + 5a - 17 = 0\\{b^3} - 3{b^2} + 5b + 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a - 1)^3} + 2a - 16 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\\{(b - 1)^3} + 2b + 12 = 0\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Leftrightarrow {(a - 1)^3} + 2a - 16 + {(b - 1)^3} + 2b + 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1 + b - 1} \right)\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} - \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right] + 2\left( {a + b - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow (a + b - 2)\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} - \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right] + 2(a + b - 2) = 0\\ \Leftrightarrow (a + b - 2)\left[ {{{\left( {\frac{{a - 1}}{2} + b - 1} \right)}^2}{\rm{ + }}\frac{3}{4}{{\left( {b - 1} \right)}^2}{\rm{ + 2}}} \right]{\rm{ = 0}}\\ \Leftrightarrow a + b = 2\;\;\;\left( {do\;{{\left( {\frac{{a - 1}}{2} + b - 1} \right)}^2}{\rm{ + }}\frac{3}{4}{{\left( {b - 1} \right)}^2}{\rm{ + 2}} > 0\;\forall a,\;b} \right)\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chọn A.