Cho hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay giá trị \(m = 1\) vào hệ phương trình sau đó giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

b) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right..\)

Hệ phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}.\)

Giải chi tiết:

a) Thay giá trị \(m = 1\) vào hệ phương trình ta có:

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\2x - 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 8\\2x - 3y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7y = 7\\x = 4 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 4 - 2.1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right..\)

Vậy với \(m = 1\) thì hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {2;\,1} \right).\)

b) Ta có: \(\frac{1}{2} \ne \frac{2}{{ - 3}} \Rightarrow \left( I \right)\) luôn có nghiệm \(\left( {x;\,y} \right)\) với mọi m.

\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 2m + 6\\2x - 3y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 3 - 2y\\7y = m + 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 3 - 2y\\y = \frac{{m + 6}}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5m + 9}}{7}\\y = \frac{{m + 6}}{7}\end{array} \right..\end{array}\)

Theo đề bài ta có: \(P = 98\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 4m\)  

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = 98\left( {\frac{{{{\left( {5m + 9} \right)}^2}}}{{49}} + \frac{{{{\left( {m + 6} \right)}^2}}}{{49}}} \right) + 4m\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {26{m^2} + 102m + 117} \right) + 4m\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 52{m^2} + 208m + 234\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 52\left( {{m^2} + 4m + 4} \right) + 234 - 52.2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 52{\left( {m + 2} \right)^2} + 26 \ge 26.\\ \Rightarrow Min\,\,P = 26.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2.\)

Vậy \(m =  - 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán