Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định hình chiếu của đỉnh, xác định góc để tìm chiều cao và áp dụng công thức thể tích

Giải chi tiết:

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD,$ $H$ là trọng tâm tam giác $ABD.$

Ta có $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \,\,\widehat{SD;\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SD;HD \right)}=\widehat{SDH}={{60}^{0}}.$

ABCD là hình vuông cạnh a nên $OD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$HO=\frac{1}{3}AO=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{6}$

Tam giác $HDO$ vuông tại $O,$ có $HD=\sqrt{O{{D}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{3}.$

Tam giác $SHD$ vuông tại $H,$ có $\tan \widehat{SDH}=\frac{SH}{HD}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{15}}{3}.$

Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}.$

Chọn C.