a. Cho đa thức \(P\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thay \(x=-1\) và \(x=3\) vào đa thức \(P\left( x \right)\) sau đó tính \(P\left( 3 \right)-P\left( -1 \right)\) kết hợp với điều kiện \(2a+b=0\) ta chứng minh được \(P\left( 3 \right)=P\left( -1 \right)\). Từ đó dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.

\(f\left( x \right)\) có nghiệm \(x=1\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=0.\) Giải phương trình đó tìm được giá trị của m.

Giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P\left( { - 1} \right) = a - b + c\\
P\left( 3 \right) = 9a + 3b + c
\end{array} \right.\\
P\left( 3 \right) - P\left( { - 1} \right) = 9a + 3b + c - \left( {a - b + c} \right) = 9a + 3b + c - a + b - c = 8a + 4b
\end{array}\)

Mà \(2a+b=0\Rightarrow 8a+4b=0\Rightarrow P\left( 3 \right)-P\left( -1 \right)=0\)

\(\Rightarrow P\left( 3 \right)=P\left( -1 \right)\Rightarrow P\left( 3 \right).P\left( -1 \right)={{\left( P\left( 3 \right) \right)}^{2}}\ge 0\)

Vậy \(P\left( -1 \right).P\left( 3 \right)\ge 0.\)

b) \(f\left( x \right)\) có nghiệm \(x=1\Rightarrow \left( m-1 \right){{.1}^{2}}-3.1.m+2=0\)

\(\Leftrightarrow m-1-3m+2=0\Leftrightarrow -2m+1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Chọn A.