Cho \(\Delta ABC\) cân tại A, gọi I là trung điểm...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất:

-        Tính chất 3 đường phân giác của tam giác.

-        Tính chất tam giác cân.

-        Hai tam giác bằng nhau.

Giải chi tiết:

a) Vì I là trung điểm của BC (gt) \(\Rightarrow IB=IC\) (tính chất trung điểm)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & AB=AC \\  & \widehat{ABC}=\widehat{ACB} \\ \end{align} \right.\) (tính chất tam giác cân)\(\Rightarrow \widehat{HBI}=\widehat{KCI}\)

Xét \({{\Delta }_{v}}BHI\) và \({{\Delta }_{v}}CKI\) có:

\(\left\{ \begin{align}  & IB=IC\left( cmt \right) \\  & \widehat{HBI}=\widehat{KCI}\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{\Delta }_{v}}BHI={{\Delta }_{v}}CKI\) (cạnh huyền- góc nhọn)

\(\Rightarrow HI=IK\) (2 cạnh tương ứng).

b) Vì I là trung điểm của BC (gt) \(\Rightarrow IB=IC\) (tính chất trung điểm)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & AB=AC \\  & \widehat{ABC}=\widehat{ACB} \\ \end{align} \right.\) (tính chất tam giác cân)\(\Rightarrow \widehat{HBI}=\widehat{KCI}\)

Xét \({{\Delta }_{v}}BHI\) và \({{\Delta }_{v}}CKI\) có:

\(\left\{ \begin{align}  & IB=IC\left( cmt \right) \\  & \widehat{HBI}=\widehat{KCI}\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{\Delta }_{v}}BHI={{\Delta }_{v}}CKI\) (cạnh huyền- góc nhọn)

\(\Rightarrow HI=IK\) (2 cạnh tương ứng).

c) Vì I là trung điểm của BC \(\Rightarrow \) AI là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\). Mà \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) nên suy ra AI cũng là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\).

Mặt khác, O là giao điểm của 3 đường phân giác trong \(\Delta ABC\) nên A, O, I thẳng hàng.

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có:

AI chung

\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (AI là phân giác của \(\widehat{BAC}\))

\(BI=IC\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta ABI=\Delta ACI\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}={{180}^{0}}\) (kề bù) \(\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{AIC}={{90}^{0}}\Rightarrow AI\bot BC.\) Hay \(OI\bot BC\).

Mặt khác, \(OD\bot AB\) nên \(OD=OI\)( tính chất 3 đường phân giác của tam giác).