Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} - \le...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp. Hàm số đã cho là hàm chẵn nên nếu \({x_1}\) là điểm làm cho hàm số nhận cực đại thì ta cũng có điểm \({-x_1}\)  là điểm làm cho hàm số nhận cực đại. Do đó \({x_1} = - {x_1} \Rightarrow {x_1} = 0.\) Sử dụng điều kiện cần và đủ để hàm đạt cực đại tại \(x=0\) để suy ra điều kiện của \(m>1.\) Sử dụng điều kiện này để biện luận các điểm còn lại có đạt cực đại, cực tiểu hay không và kết luận được không tồn tại \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Giả sử \({x_1}\) là điểm làm cho hàm số đạt cực đại. Khi đó ta có \(y\left( {{x_1}} \right) = \left( {m + 1} \right)x_1^4 - \left( {m - 1} \right)x_1^2 + 1 = \left( {m + 1} \right){\left( { - {x_1}} \right)^4} - \left( {m - 1} \right){\left( { - {x_1}} \right)^2} + 1 = y\left( { - {x_1}} \right).\)

Do đó nếu \({x_1}\) là điểm làm cho hàm số nhận cực đại thì ta cũng có điểm \({-x_1}\) là điểm làm cho hàm số nhận cực đại. Do hàm số chỉ có điểm cực đại nên \({x_1} = - {x_1} \Rightarrow {x_1} = 0.\)

Ta có \(y' = 4\left( {m + 1} \right){x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x,\,y' = 0 \Leftrightarrow 4\left( {m + 1} \right){x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {m - 1} \right) = 0\,\,\left( 1 \right).\end{array} \right.\)

Ta lại có \(y'' = 12\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right) \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 2\left( {m - 1} \right).\) Để \(x=0\) là điểm cực đại của hàm số thì ta cần \(y''\left( 0 \right) < 0 \Leftrightarrow - 2\left( {m - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 1.\) Khi đó phương trình \((1)\) có hai nghiệm là \({x_1} = - \sqrt {\frac{{m - 1}}{{2\left( {m + 1} \right)}}} ,{x_2} = \sqrt {\frac{{m - 1}}{{2\left( {m + 1} \right)}}} .\)

Ta có \(y''\left( {{x_1}} \right) = 12\left( {m + 1} \right){\left( { - \sqrt {\frac{{m - 1}}{{2\left( {m + 1} \right)}}} } \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right) = 4\left( {m - 1} \right) > 0\) nên \({x_1}\) là điểm cực tiểu của hàm số. Như vậy với \(m>1\) thì hàm số đã cho có điểm cực tiểu. Do đó không tồn tại \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án B.