Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = BC = x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện gần đều: \(V = \frac{1}{6}SC.AB\sin \widehat {\left( {SC;AB} \right)}d\left( {SC;AB} \right)\)

Giải chi tiết:

 Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và SC ta có:

\(\Delta SAC = \Delta CBS\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow FA = FB\) , do đó tam giác FAB cân tại F\( \Rightarrow FE \bot AB\) (trung tuyến đồng thời là đường cao).

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được \(FE \bot SC\) , do đó EF là đường vuông góc chung của SC và AB.

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}SC.AB\sin \widehat {\left( {SC;AB} \right)}d\left( {SC;AB} \right)\)

Ta có: BF là trung tuyến của tam giác SBC nên \(B{F^2} = \dfrac{{B{C^2} + S{B^2}}}{2} - \frac{{S{C^2}}}{4} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} - \frac{{{z^2}}}{4}\)

Tam giác BEF vuông tại E nên \(EF = \sqrt {B{F^2} - B{E^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2} - \dfrac{{{z^2}}}{4} - \dfrac{{{z^2}}}{4}}  = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}}{2}}  = \sqrt {\dfrac{{12 - 2{z^2}}}{2}}  = \sqrt {6 - {z^2}} \)

  \( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}{z^2}\sqrt {6 - {z^2}} \sin \widehat {\left( {SC;AB} \right)}\,\,\left( {0 < z < \sqrt {12} } \right)\)

Thể tích của chóp S.ABC đạt GTLN khi và chỉ khi \(f\left( z \right) = {z^2}\sqrt {6 - {z^2}} \) đạt GTLN và \(\sin \widehat {\left( {SC;AB} \right)} = 1 \Rightarrow SC \bot AB\).

Xét hàm số \(f\left( z \right) = {z^2}\sqrt {6 - {z^2}} \,\,\left( {0 < z < \sqrt {12} } \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( z \right) = 2z\sqrt {6 - {z^2}} + {z^2}\dfrac{{ - z}}{{\sqrt {6 - {z^2}} }} = \dfrac{{2z\left( {6 - {z^2}} \right) - {z^3}}}{{\sqrt {6 - {z^2}} }} = \dfrac{{12z - 3{z^3}}}{{\sqrt {6 - {z^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\z = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\z = - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left( {0;\sqrt {12} } \right)} f\left( z \right) = f\left( 2 \right) = 4\sqrt 2 \\ \Rightarrow {V_{\max }} = \dfrac{1}{6}.4\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\end{array}\)

Chọn C.