Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, kẻ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng và cặp tam giác bằng nhau, từ đó rút ra dữ kiện cần thiết để chứng minh yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

Có: \(\widehat{AHE}+\widehat{CHE}={{90}^{0}}\) (2 góc phụ nhau)

       \(\widehat{ECH}+\widehat{CHE}={{90}^{0}}\) (2 góc phụ nhau)

\(\Rightarrow \widehat{AHE}=\widehat{ECH}\) (cùng phụ với góc CHE).

Xét \(\Delta EHA\) và \(\Delta ECH\) ta có:

       \(\widehat{AHE}=\widehat{ECH}\) (chứng minh trên)

       \(\widehat{AEH}=\widehat{HEC}={{90}^{0}}\)

\(\Rightarrow \Delta EHA\backsim \Delta ECH\ (g-g)\)

\(\Rightarrow \widehat{HAE}=\widehat{CHE}\ (1)\)

Có: \(\widehat{BAC}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}={{90}^{o}}\)\(\Rightarrow \) AEHD là hình chữ nhật.  (dấu hiệu nhận biết).

\(\Rightarrow \) AE = DH, AD = EH

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta EHA\) ta có:

     AE chung

     AD = EH (chứng minh trên)

     \(\widehat{DAE}=\widehat{HEA}={{90}^{0}}\)

\(\Rightarrow \Delta ADE=\Delta EHA\ (c-g-c)\)

\(\Rightarrow \widehat{DEA}=\widehat{HAE}\ (2)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat{DEA}=\widehat{CHE}\)

Mà HE và BA cùng vuông góc với AC nên \(HE\parallel AB\).

\(\Rightarrow \widehat{CHE}=\widehat{CBA}\) (cặp góc đồng vị)

\(\Rightarrow \widehat{DEA}=\widehat{CBA}\ hay\ \widehat{AED}=\widehat{ABC}\) (điều phải chứng minh).\(\Rightarrow \widehat{DEA}=\widehat{CBA}\ hay\ \widehat{AED}=\widehat{ABC}\)