Giả sử rằng \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\fr...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(\cos x=\tan a\)

Giải chi tiết:

Đặt \(\cos x=\tan a\Leftrightarrow -\sin xdx=\left( 1+{{\tan }^{2}}a \right)da\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{4}\\x = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow a = \arctan \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\), khi đó ta có:   \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\tan xdx}{1+{{\cos }^{2}}x}}=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{-\left( 1+{{\tan }^{2}}a \right)da}{\tan a\left( 1+{{\tan }^{2}}a \right)}}=\int\limits_{\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\cos ada}{\sin a}}\)

Đặt \(u=\sin a\Leftrightarrow du=\cos ada\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow u = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\a = \arctan \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow u = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\) , khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\frac{{du}}{u}}  = \left. {\ln u} \right|_{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} = \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \ln \frac{{\sqrt 6 }}{2} = \frac{1}{2}\ln {\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}\\ \Rightarrow m = \frac{1}{2}\end{array}\)

Chọn B.