Biết hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Lấy (1) – (2), giải phương trình bằng phương pháp hàm số tìm ra mối quan hệ của x và y.

+) Thế vào 1 trong 2 phương trình ban đầu, dùng phương pháp hàm số một lần nữa, giải phương trình tìm x (hoặc y)

Giải chi tiết:

ĐK : \(x,y > 0\)

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\sqrt {x + 3} = 1 + {\log _3}y\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{\log _2}\sqrt {y + 3} = 1 + {\log _3}x\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {x + 3} - {\log _2}\sqrt {y + 3} = {\log _3}y\, - {\log _3}x\,\\
\Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {x + 3} + {\log _3}x\, = {\log _2}\sqrt {y + 3} + {\log _3}y\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}\sqrt {t + 3}  + {\log _3}t\,\,\left( {t > 0} \right)\)  ta có : \(f'\left( t \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt {t + 3} }}}}{{\sqrt {t + 3} \ln 2}} + \dfrac{1}{{t\ln 3}} > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà từ (*) ta có \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Rightarrow x = y\)

Khi đó phương trình (1) trở thành \({\log _2}\sqrt {x + 3} = 1 + {\log _3}x = {\log _3}3x = a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 3} = {2^a}\\
3x = {3^a}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 3 = {4^a}\\
3x = {3^a}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {4^a} - 3 = \dfrac{1}{3}{.3^a} \Leftrightarrow 1 - 3{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a} = \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^a} \Leftrightarrow 3{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^a} + \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^a} = 1\,\,\,\left( {**} \right)\)

Dễ thấy VT là hàm nghịch biến nên (**) có nhiều nhất 1 nghiệm, lại có \(3{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^1} + \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^1} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1 \Rightarrow \) phương trình (**) có nghiệm duy nhất x = 1 (tm).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) = \left( {1;1} \right) \Rightarrow {x_0} + 2{y_0} = 1 + 2.1 = 3\)

Chọn A.