Cho \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(|{{z}_{1}}-...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \({{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i\),\({{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i\), thay vào biểu thức đề bài tìm mối liên hệ \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{1}},{{y}_{2}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki \({{\left( ax+by \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\) để đánh giá \(\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\).

Giải chi tiết:

 Giả sử \({{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i\),\({{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i\).

Theo giả thiết \(|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|=1\) có

\({{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{y}_{1}}-{{y}_{2}})}^{2}}=1\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{y}_{2}}=1\) (1)

Theo giả thiết \(|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}|=3\) có

\({{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{y}_{1}}+{{y}_{2}})}^{2}}=9\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+2{{x}_{1}}{{y}_{2}}=9\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có

\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=5\)

Ta có

\(T=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

\(T\le \sqrt{2.(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2})}=\sqrt{10}\)

Chọn D