Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Ta có \(E\in SC\), \(EC\cap \left( SBD \right)=S\Rightarrow \frac{d\left( E;\left( SBD \right) \right)}{d\left( C;\left( SBD \right) \right)}=\frac{d\left( E;\left( SBD \right) \right)}{d\left( A;\left( SBD \right) \right)}=\frac{ES}{CS}=\frac{1}{2}\).

Từ A kẻ \(AK\bot BD\,\,\left( K\in BD \right)\), kẻ \(AH\bot SK\,\,\left( H\in SK \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AK\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow BD \bot AH\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right).\)

\(\Rightarrow AH=d\left( A;\left( SBD \right) \right)=2.d\left( E;\left( SBD \right) \right)=\frac{2a}{3}.\)

Mà \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{K}^{2}}}\Rightarrow AK=\frac{SA.AH}{\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}\).

Tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AK\).

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{AD{}^2}} = \frac{1}{{A{K^2}}} \Leftrightarrow\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}{x^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x > 0\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow x = 2\)

Chọn C.