Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Giải chi tiết:

Nối \(CK \cap HD = I\). Ta chứng minh được \(CK \bot HD\)

Do đó \(\widehat {\left( {SC;\left( {SHD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SI} \right)} = \widehat {CSI} = \alpha  \in \left( {{0^0};{{90}^0}} \right)\).

Có \({S_{\Delta HCD}} = \frac{1}{2}CI.HD = {S_{ABCD}} - 2.{S_{\Delta BHC}} = {a^2} - 2.\frac{1}{2}a.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)

\( \Rightarrow CI = \frac{{2{S_{\Delta HCD}}}}{{HD}} = \frac{{2{S_{\Delta HCD}}}}{{\sqrt {A{D^2} + A{H^2}} }} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\). \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt {S{H^2} + B{C^2} + B{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = a\sqrt 2 \)Xét tam giác SIC vuông tại I ta có: \(\sin \alpha  = \frac{{IC}}{{SC}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}:a\sqrt 2  = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).

Do đó \({\cos ^2}\alpha  + 2{\sin ^2}\alpha  = 1 + {\sin ^2}\alpha  = 1 + \frac{{10}}{{25}} = \frac{7}{5}\).

Chọn D