Cho phương trình: \(1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - {x^2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trước tiên, ta tìm điều kiện để phân thức có nghĩa.

-          Áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình đó.

Giải chi tiết:

Xét phương trình: \(1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - {x^2}}  = \sqrt x  + \sqrt {1 - x} \left( * \right)\)

Đk:  \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\1 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 1\)

Đặt \(t = \sqrt x  + \sqrt {1 - x} \left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {t^2} = {\left( {\sqrt x  + \sqrt {1 - x} } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {t^2} = x + 2\sqrt {x - {x^2}}  + 1 - x \Rightarrow \sqrt {x - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình (*) có dạng:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{{t^2} - 1}}{3} = t\\ \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {tm} \right)\\t = 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

-          Với t = 1 ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = 1\\\Leftrightarrow x + 2\sqrt {x - {x^2}}  + 1 - x = 1\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - {x^2}}  = 0\\ \Leftrightarrow x - {x^2} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = 1\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

-          Với t = 2 ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = 2\\ \Leftrightarrow x + 2\sqrt {x - {x^2}}  + 1 - x = 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - {x^2}}  = 3\\ \Leftrightarrow 4x - 4{x^2} = 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} + 8 > 0,\forall x\end{array}\)

Nên phương trình \(1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - {x^2}}  = \sqrt x  + \sqrt {1 - x} \) vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x= 0 và x = 1

Chọn B.