Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 4} \right)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1}\)  và \({x_2}\)  (\(\Delta  \ge 0\)).

  Ta biến đổi biểu thức  \({{1 \over x}_1} + {{1 \over x}_2} = 3\) về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của m.

- Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

Xét phương trình:  \({x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3m + 3 = 0\)  có:

\(\eqalign{& \Delta  = {\left( {m + 4} \right)^2} - 4\left( {3m + 3} \right) = {m^2} + 8m + 16 - 12m - 12  \cr & \,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\forall m. \cr} \)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm   \({x_1},{x_2}\,\,\,\forall m\) . Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:  \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = m + 4  \cr {x_1}{x_2} = 3m + 3  \cr}  \right.\)    (1)

Có:  \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)  (2)

Ta có:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,\,\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right| = 7  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right|} \right)^2} = 49  \cr &  \Leftrightarrow {x_1}^2 + 2{x_1} + 1 + 2\left| {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)} \right| + {x_2}^2 + 2{x_2} + 1 = 49  \cr &  \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left| {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} \right| = 47  \cr &  \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left| {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} \right| = 47\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,{\left( {m + 4} \right)^2} - 6\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 4} \right) + 2\left| {3m + 3 + m + 4 + 1} \right| = 47  \cr &  \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 16 - 6m - 6 + 2m + 8 + 2\left| {4m + 8} \right| = 47  \cr &  \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 29 + 8\left| {m + 2} \right| = 0\,\,\,\,\,(*) \cr} \)

+) Th1: Với  \(m \ge  - 2\) thì (*) trở thành:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,{m^2} + 4m + 8m + 16 = 29  \cr &  \Leftrightarrow {m^2} + 12m - 13 = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 13} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{m - 1 = 0\cr m + 13 = 0 \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{m = 1\,\,\,(tm) \cr m =  - 13\,\,\,\,(ktm) \cr}  \right. \cr} \)

+) Th2: Với m < - 2  thì (*) trở thành:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,{m^2} + 4m - 8m - 16 = 29  \cr &  \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 45 = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left( {m - 9} \right)\left( {m + 5} \right) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{m - 9 = 0 \cr m + 5 = 0 \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{m = 9\,\,\,(ktm)  \cr m =  - 5\,\,\,(tm) \cr}  \right. \cr} \)

Vậy với m = 1 hoặc m = - 5 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

 Chọn D.