Cho A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức thỏa...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình số phức. Tìm được số phức có dạng \(z = a + bi\), ta có các điểm \(A\left( {{a_1};{b_1}} \right);B\left( {{a_2};{b_2}} \right);C\left( {{a_3};{b_3}} \right) \Rightarrow \). Tính AB, AC, BC.

Giải chi tiết:

Ta có \({z^3} + i = 0 \Leftrightarrow {z^3} - {i^3} = 0 \Leftrightarrow \left( {z - i} \right)\left( {{z^2} + iz + {i^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = i \hfill \cr   {\left( {z + {i \over 2}} \right)^2} = {3 \over 4} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = i \hfill \cr   z = {{ \pm \sqrt 3 } \over 2} - {i \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(A\left( {0;1} \right);B\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}; - {1 \over 2}} \right);C\left( {{{ - \sqrt 3 } \over 2}; - {1 \over 2}} \right)\).

Ta có:

\(\left\{ \matrix{  AB = \sqrt {{{\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2} + {{\left( { - {3 \over 2}} \right)}^2}}  = \sqrt 3  \hfill \cr   AC = \sqrt {{{\left( {{{ - \sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2} + {{\left( { - {3 \over 2}} \right)}^2}}  = \sqrt 3  \hfill \cr   BC = \sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \sqrt 3  \hfill \cr}  \right. \Rightarrow AB = AC = BC \Rightarrow \Delta ABC\) đều nên A đúng.

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có \(O\left( {{{0 + {{\sqrt 3 } \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}} \over 3};{{1 - {1 \over 2} - {1 \over 2}} \over 3}} \right) = \left( {0;0} \right) \Rightarrow \) B đúng.

Vì tam giác ABC đều nên trọng tâm đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp nên C đúng.

Chọn D.