Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn \(\left( O;R...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác AHIK có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh \(\Delta IBC\backsim \Delta IAD\).

c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

d)  +) Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích tam giác BCD.

+) Tính tỉ số \(\frac{S}{{{S}_{1}}}\) dựa vào kiến thức: Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng và bất đẳng thức Cô-si.

+) Hạ các đường cao AE, CF của tam giác ABD và BCD, tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{S}\).

+) \(\Rightarrow \frac{S}{S'}=\frac{S}{{{S}_{1}}}.\frac{{{S}_{1}}}{S'}\)

Giải chi tiết:

a) Xét tứ giác AHIK có \(\widehat{AHI}+\widehat{AKI}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác AHIK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Xét tam giác IAD và IBC có:

\(\widehat{BIC}=\widehat{AID}\) (đối đỉnh)

\(\widehat{BCI}=\widehat{ADI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

\(\Rightarrow \Delta IBC\backsim \Delta IAD\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{IB}{IA}=\frac{IC}{ID}\Leftrightarrow IA.IC=IB.ID\).

c) Ta có \(\widehat{IHK}=\widehat{IAK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IK); \(\widehat{IAK}=\widehat{CBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD).

\(\Rightarrow \widehat{IHK}=\widehat{CBD}\ \left( =\widehat{IAK} \right).\)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat{IKH}=\widehat{CDB}\)

\(\Rightarrow \Delta IHK\backsim \Delta CBD\,\,\left( g.g \right)\)

d) Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích tam giác BCD.

Vì \(\Delta IHK\backsim \Delta CBD\,\,\left( cmt \right)\) theo tỉ số đồng dạng \(\frac{HK}{BD}\Rightarrow \frac{S}{{{S}_{1}}}=\frac{H{{K}^{2}}}{B{{D}^{2}}}=\frac{H{{K}^{2}}}{{{\left( IB+ID \right)}^{2}}}\le \frac{H{{K}^{2}}}{4IB.ID}=\frac{H{{K}^{2}}}{4IA.IC}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Kẻ \(AE\bot BD;\,\,CF\bot BD\) ta có \(AE//CF\Rightarrow \frac{AE}{CF}=\frac{IA}{IC}\) (Ta-let).

Ta có \(\frac{{{S}_{1}}}{S'}=\frac{\frac{1}{2}AE.BD}{\frac{1}{2}CF.BD}=\frac{AE}{CF}=\frac{IA}{IC}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \frac{S}{S'}=\frac{S}{{{S}_{1}}}.\frac{{{S}_{1}}}{S'}\le \frac{H{{K}^{2}}}{4IA.IC}.\frac{IA}{IC}=\frac{H{{K}^{2}}}{4I{{A}^{2}}}\) (đpcm).

Dấu bằng xảy ra \(\Rightarrow IB=ID\)